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阵列信号处理应用十分广泛，涉及雷达、医疗、射电天文学、地球物理、卫星和移动通信系统等众多领域，已成为信号处理领域研究的一个热点和难点。

阵列信号处理的目的是通过对阵列接收的信号进行处理，增强所需的有用信号，抑制无用的干扰和噪声，并提取有用的信号特征和信号所包含的信息。

与传统的单个定向传感器相比，传感器阵列具有灵活的波束控制，高的信号增益，极强的干扰抑制能力和高的空间分辨能力等优点。

阵列信号处理主要的两个研究方向是自适应阵列处理和空间谱估计。空间谱估计主要研究空间多传感器阵列所构成的处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的能力，其主要目的是估计信号的空域参数或信源位置，这也是雷达、通信、声纳等许多领域的重要任务。

空间谱是阵列信号处理中的一个重要概念，空间谱表示信号在空间各个方向上的能量分布。

因此如果能得到信号的空间谱，就能得到信号的波达方向（Direction of Arrival，DOA）。所以，空间谱估计常称为 DOA 估计。此外，空间谱估计又常称为超高分辨谱估计，这主要是因为空间谱估计技术具有超高的空间信号的分辨能力，能突破并进一步改善一个波束宽度内的空间不同来向信号的分辨能力。

DOA估计发展概述

最初的波达方向估计方法是基于傅立叶变化的线性谱估计方法，主要包括 BT 法和周期图法。由于受到瑞利极限的限制，无法获得超高分辨率性能，且抗噪声能力差，未能取得满意的效果。

后来，基于统计分析的最大似然谱估计方法，因其具有很高的分辨性能和较好的鲁棒性而受到人们的关注。然而，最大似然估计法要对高维参量空间进行搜索，运算量极大。

1967 年，Burg 提出了最大熵谱估计方法，开始了现代谱估计的研究，这类方法包括最大嫡法、AR、MA、ARMA模型参量法、正弦组合模型法等等。上述方法都具有分辨率高的优点，但它们的运算量都很大，且鲁棒性差。

八十年代以后，学术界提出了一类基于矩阵特征值分解的谱估计方法。其中以多重信号分类 MUSIC方法和旋转不变子空间 ESPRIT（Estimation Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques）方法为代表。它们分别基于信号子空间与噪声子空间的正交性和信号子空间的旋转不变性。

以 MUSIC 为代表的特征结构分析法，具有很好的角度分辨能力。在一定的条件下，MUSIC 算法是最大似然法的一种一维实现，具备与最大似然法相近的性能。在这一点上 MUSIC 算法超过了其它算法，受到广泛的重视；其弱点是运算量偏大。

ESPRIT 算法及其改进算法，都有较好的分辨率。更重要的是这类方法避免了运算量极大的谱搜索过程，大大加快了波达方向估计的速度，这是其它方法所无法比拟的。但是，ESPRIT 算法及其改进算法需要通过特殊的阵列结构才能实现波达方向估计，因而适用范围相对较窄。

近年来，学术界认为常规的空间谱估计波达方向估计方法，如ML、MUSIC、ESPRIT等方法都忽略了信号的时间特性，而随着阵列信号处理技术日益广泛的应用，在许多场合中信号是配合其他信号使用的。因此有必要在使用常规方法进行空域处理的同时有效的引入适当的时域处理，更充分的利用信号中的有用信息。

DOA 估计原理

空间谱估计的系统结构

空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。相应的可分为三个空间：目标空间、观察空间及估计空间，如下图所示。

对于上述的系统结构，作以下几点说明：

目标空间是一个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数

观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常只有一个通道。特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内

估计空间是利用空间谱估计技术（包括阵列信号处理中的一些技术，如阵列校正、空域滤波等技术）从复杂的观察数据中提取信号的特征参数

从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元的互耦、通道不一致、频带不一致等。

空间谱表示信号在空间各个方向上的能量分布，如果能得到信号的空间谱，就能得到信号的波达方向 DOA，故空间谱估计也被称为DOA估计。

DOA 估计的基本原理

波达方向（DOA）是指无线电波到达天线阵列的方向，如下图所示。若到达的无线电波满足远场窄带条件，可以近似认为无线电波的波前为一平面，平面波前与阵列轴线或阵列法线间的夹角即为波达方向。

DOA 估计的目标是在给定个快拍数据：，用某种算法估计个信号的 DOA 值。

对于一般的远场信号而言，同一信号到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导致了接收阵元间的相位差，利用阵元间的相位差可以估计出信号的方位，这就是 DOA 估计的基本原理。

如上图所示，若考虑两个阵元，为阵元间的距离，为光速，为远场信号的入射角，为阵元间的相位延迟。则天线所接收的信号由于波程差

从而可得到两阵元间的相位差为

式中，是中心频率。对于窄带信号，相位差

其中，为信号波长。因此，只要知道信号的相位延迟，就可以求出信号的来向，这就是空间谱估计技术的基本原理。

阵列信号DOA估计的常用方法

传统波束形成法

最早用于 DOA 估计的方法是传统波束形成算法。它的主要思想是：在某一时刻使整个阵列对某一个方向进行估计，测量输出功率。在输出功率上，能产生最大功率的方向就是我们所需要的 DOA 估计。

传统波束形成方法的缺点：阵列所有可利用的自由度都用在所需观测方向上形成一个波束。当有多个信号源入射时，该方法受限于波束宽度和旁瓣高度，因此分辨率较低。

Capon 最小方差法

Capon 最小方差方法是一种以提高传统方法效果为目的的波束形成技术。由于传统波束形成方法有这样一个缺陷：当有多个信号源存在时，空域谱估计不仅包括被估计方向上的信号源功率，还包括其它方向上的其它信号源功率。而 Capon 方法是通过最小化总体输出的功率，来降低干扰的影响，从而对来波方向进行估计。

Capon 方法比传统波束形成算法的分辨力有了很大的提高。但 Capon 方法也有明显的不足：若其它信号的入射方向与感兴趣的信号的入射方向比较接近时，Capon 方法的估计误差就会很大，需要对矩阵求逆；当阵元数较大时运算量过大，分辨能力由阵列几何结构和信噪比决定。

子空间类算法

尽管基于波束形成的经典方法通常很有效，也经常用到，但这些方法在分辨率方面尚有本质的局限性，无法超过受阵列孔径限制。这些局限大多数是由于没有利用输入信号模型的结构。

Schmitt 在不考虑噪声的情况下导出了 DOA 估计问题的完全几何解，并将这个几何解推广，得到存在噪声时的合理近似解，开创了子空间方法的先河，这种算法就是后来被称为 MUSIC 的算法。除MUSIC算法，基于子空间算法的形成主要得益于 Roy 提出的借助旋转不变技术的信号参数估计，就是所谓的 ESPRIT 算法。

子空间类算法主要利用阵列接收数据的协方差矩阵的两条性质：

特征向量的扩张空间可分解成两个正交子空间，即信号子空间（由较大特征值对应的特征向量扩张而成)和噪声子空间（由较小特征值对应的特征向量扩张而成）。

信号源的方向向量与噪声子空间正交。

影响 DOA 估计结果的因素

信号的 DOA 估计结果受到多种因素的影响，既与入射信号源有关，也与实际应用中的环境有关。下面给出几点比较重要的影响因素。

阵元数

基阵的阵元数目也影响着超分辨算法的估计性能。一般来说，在阵列其它参数一样的情况下，阵元数越多，超分辨算法的估计性能越好。

快拍数

在时域，快拍数定义为采样点数。在频域，快拍数定义为做 DFT（离散傅里叶）变换的时间子段的个数。快拍数越大，超分辨算法的估计性能越好。

信噪比

假设信号和噪声具有平坦的带通功率谱密度，而且信号源功率为，噪声功率为，那么在这种情况下，信噪比可定义为

信噪比的高低直接影响着超分辨方位估计算法的性能。在低信噪比时，超分辨算法的性能会急剧下降。

信号源的相干性

相干源问题是子空间类算法的致命问题，当信号源中存在相干信号时，信号协方差矩阵就不再为满秩矩阵，这种情况下，原有的超分辨算法便失效，因此，会大大的影响到 DOA 估计的性能。

除了上面给出的影响因素外，在实际应用中还有其它的一些影响 DOA 估计性能的因素，比如阵元幅度相位不一致性，阵元间互耦、传感器位置误差等等。

本期我们将基于经典 DOA 估计算法——MUSIC 算法进行相关仿真分析。在介绍算法前，我们先了解一些基础知识，有助于理解相关结论的推导。

分辨力

在阵列测向中，在某方向上对信源的分辨力与在该方向附近阵列方向矢量的变化率直接相关。在方向矢量变化较快的方向附近，随信源角度变化阵列快拍数据变化也大，相应的分辨力也高。在这里定义一个表征分辨力的量

越大则表明在该方向上的分辨力越高。

对于均匀线阵，则

说明信号在方向分辨比在方向分辨力已降了一半，所以一般线阵的测向范围为。

Hermite 矩阵

定义：如果复方阵满足（表示共轭转置），则称为一个Hermite 矩阵，即埃尔米特矩阵，简称为矩阵。

设和分别为转置矩阵和共轭矩阵，显然，阶方阵为矩阵的充要条件，也即

由上式可以看出，矩阵的对角线元素必为实数。

矩阵具有如下性质：

若为矩阵，则为实数：

若为矩阵，为任意实数，则仍为矩阵：

若为矩阵，则，，都是矩阵，当可逆时，也是矩阵：

若均为阶矩阵，则也是矩阵。

协方差及协方差矩阵

方差反应参数的波动情况。而两个不同参数之间的方差就是协方差。

对于二维随机变量，如果存在，则称之为与的协方差，记作，即

对于维随机向量，记

式中，。则称矩阵为的协方差矩阵。协方差矩阵为正定（非负定）对称阵，即。

MUSIC 算法的提出

多重信号分类（MUSIC）算法是 Schmidt 等人在 1979 年提出的。这一算的提出开创子空间谱估计算法研究的新时代，促进了特征结构类算法的兴起和发展，该算法已成为空间谱估计理论体系中的标志性算法。

此算法提出之前的有关算法都是针对阵列接收数据协方差矩阵进行直接处理，而 MUSIC 算法的基本思想则是对阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量相正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的 DOA。

MUSIC 算法在特定的条件下具有很高的分辨力、估计精度及稳定性。总的来说，它用于阵列的波达方向估计有以下一些突出的优点：

多信号同时测向能力

高精度测向

对天线波束内的信号的高分辨测向

可适用于短数据情况

采用高速处理技术后可实现实时处理

波达方向估计问题中的阵列信号数学模

为了分析推导的方便，现将波达方向估计问题中的数学模型作理想状态的假设如下：

各待测信号源具有相同的极化且互不相关的。信号源为窄带的，且各信号源具有相同的中心频率。待测信号源的个数为

天线阵列是由个阵元组成的等间距直线阵，各阵元特性相同，各向同性，阵元间隔为，并且阵元间隔不大于最高频率信号半波长

天线阵列处于各信号源的远场中，即天线阵列接收从各信号源传来的信号为平面波

各阵元上有互不相关，且与各待测信号也不相关，方差为的零均值高斯白噪声

各接收支路具有完全相同的特性

假设由第个信号源辐射到天线阵列的波前信号为，前面已假设为窄带信号，则可以表示为以下形式

式中是的复包络，是信号的角频率。前面已经假设个信号具有相同的中心频率，所以有

式中是电磁波波速，是信号波长。

设电磁波通过天线阵列尺寸所需的时间为，则根据窄带假设，有如下近似

故延迟后的波前信号为

所以，若以第一个阵元为参考点，则时刻等间距直线阵中的第个阵元对第个信号源的感应信号为

其中，为第个阵元对第个信号源的影响，前面以假设各阵元无方向性，所以可取。为第个信号源的方位角，表示由第个阵元与第个阵元间的波程差所引起的信号相位差。

计算噪声和所有信号源来波，第个阵元的输出信号为

其中是测量噪声，所有标号为表示该量属于第个阵元，所有标号为表示该量属于第个信号源。

设为第个阵元对第个信号源的响应函数。

则第个阵元的输出信号为

其中是第个信号源在阵元上的信号强度。

运用矩阵的定义，可以得到更为简洁的表达式

式中

对进行点采样，要处理的问题就变成了通过输出信号的采样估计出信号源的波达方向角。

由此，可以很自然的将阵列信号看作是噪声干扰的若干空间谐波的叠加，从而将波达方向估计问题与谱估计联系起来。

阵列协方差矩阵的特征分解

对阵列输出作相关处理，得到其协方差矩阵

其中，表示矩阵共轭转置。

前面已假设信号与噪声互不相关、且噪声为零均值白噪声，因此可以得到

式中称为信号的相关矩阵。是噪声的相关矩阵，是噪声功率，是阶的单位矩阵。

实际应用中，通常无法直接得到，能使用的只有样本的协方差矩阵

是的最大似然估计，当采样数时，它们是一致的，但实际情况中将由于样本数有限而造成误差。

根据矩阵特征分解的理论，可以对阵列协方差矩阵进行特征分解。首先考虑理想情况，即无噪声的情况

对于均匀线阵，矩阵是范德蒙德矩阵，只要满足

则它的各列相互独立，这样，若为非奇异矩阵（，各信号源两两不相干)，且，则有

由于，所以有

即是 Hermite 矩阵，它的特征值都是实数。又由于是正定的，因此矩阵是半正定的，它有个正特征值和个零特征值。

再考虑有噪声存在的情况

由于，为满秩阵，所以有个正实特征值，分别对应于个特征向量。又由于是Hermite 矩阵，所以各特征向量是相互正交的，即

与信号有关的特征值只有个，分别等于矩阵的各特征值与之和，其余的个特征值为，也就是说，是的最小特征值，它是维的。对应的特征向量中，也有个是与信号有关的，另外个是与噪声有关的。

MUSIC 算法的原理及实现

通过对阵列协方差矩阵的特征分解，将矩阵的特征值进行从小到大的排序，即

其中个较大的特征值对应于信号，个较小的特征值对应于噪声。

矩阵与这些特征值对应的特征向量也分别对应于信号和噪声，因此，可以把的特征值（特征向量）划分为信号特征值（特征向量）与噪声特征值（特征向量）。

设是矩阵的第个特征值，是与相对应的特征向量，则有

再设是的最小特征值

将代入上式，可得

因是维的满秩矩阵，存在；而同样存在，则上式两边同乘以后变成

于是有

上式表明：噪声特征值所对应的特征向量（称噪声特征向量），与矩阵的列向量正交，而的各列是与信号源的方向相对应的。这就是利用噪声特征向量求解信号源方向的出发点。

用各噪声特征向量为列，构造一个噪声矩阵

定义空间谱

该式中分母是信号向量和噪声矩阵的内积，当和的各列正交时，该分母为零，但由于噪声的存在，它实际上为一最小值，当和非正交时，有一尖峰。故使变化，通过寻找波峰来估计到达角。

MUSIC 算法的实现步骤

根据个接收信号矢量得到下面协方差矩阵的估计值：

对上面得到的协方差矩阵进行特征值分解

按特征值的大小顺序，把与信号个数相等的特征值和对应的特征向量看作信号部分空间，把剩下的个特征值和特征向量看作噪声部分空间。由得到噪声矩阵

使变化，按照下式来计算谱函数

通过寻求峰值来得到波达方向的估计值

MUSIC 算法的改进

在模型准确的前提下，MUSIC 算法对 DOA 的估计理论上可以达到任意高的分辨率。但是，MUSIC 算法研究的信号仅仅限于非相关的信号，当信号源是相关信号或者相隔比较近的小信噪比信号时，MUSIC 算法的估计性能恶化，甚至完全失效。下面通过对 MUSIC 算法数据阵的共轭重构提出的一种改进的 MUSIC 算法。

做一变换矩阵，是阶反单位矩阵，称为转换矩阵，即

令，其中是的复共轭，则数据矩阵的协方差矩阵为

由和之和得到共轭重构后的矩阵

根据矩阵理论，矩阵，和具有相同的噪声子空间。对进行特征分解求出其特征值及对应的特征向量，根据估计的信号源数可以从特征向量中分出噪声子空间，用新的噪声子空间构造空间谱，通过寻求峰值来得到波达方向的估计值。

MUSIC 算法的基本仿真

模拟个独立窄带信号分别从，的方向入射到均匀线阵上，信号间互不相关，与噪声相互独立，噪声为理想高斯白噪声，阵元间距为入射信号波长的，信噪比为，阵元数为，采样快拍次数（阵列采样次数）为。其仿真结果如下图所示。

由上图可以看出在符合假设的前提下，采用 MUSIC 算法能构造出针状的谱峰，可以很好的估计出入射信号的个数和方向，能有效的估计出独立信号源的 DOA，并且在模型准确的前提下，对 DOA 的估计可以达到任意精度。克服了传统测向定位方法精度低的缺点，可以有效解决密集信号环境中多个辐射源的高分辨率、高精度测向定位问题。

可以看出超分辨率的 MUSIC 算法具有测向准确度、灵敏度高的特点且具有潜在分辨多信号的能力，具有较好的性能和较高的效率，能提供高分辨率及渐近无偏的到达角估计，这对实际中的应用具有十分重要的意义。

MUSIC 算法 DOA 估计与阵元数的关系

模拟个独立窄带信号分别从，的方向入射到均匀线阵上，信号间互不相关，与噪声相互独立，噪声为理想高斯白噪声，阵元间距为入射信号波长的，信噪比为，阵元数分别为，，。采样快拍次数（阵列采样次数）为。其仿真结果如下图所示。

由上图可以看出，其他条件不变的情况下，随着阵元数的增加，DOA 估计谱的波束宽度变窄，阵列的指向性变好，也就是说阵列分辨空间信号的能力增强。

由此可以看出，要得到更加精确的 DOA 估计谱，可以增加阵元数量，但阵元数量越多，需要处理的数据越多，运算量越大，运行速度越慢。

由上图可以看出阵元数为和的波束宽度相差不多。因此，在实际应用中，可根据具体条件适当选取阵元数量，在确保估计谱准确的前提下，尽量减少资源浪费，加快运行的速度，提高工作效率。

MUSIC 算法 DOA 估计与阵元间距的关系

模拟个独立窄带信号分别从，的方向入射到均匀线阵上，信号间互不相关，与噪声相互独立，噪声为理想高斯白噪声，阵元间距分别为，，，信噪比为，阵元数为，采样快拍次数（阵列采样次数）为。其仿真结果如下图所示。

由上图可以看出，在其他条件不变的前提下，当阵元间距不大于半波长时，随着阵元间距的增加，DOA 估计谱的波束宽度变窄，阵列的指向性变好，也就是说 MUSIC 算法的分辨力随着阵元间距的加大相应提高。

但当阵元间距大于半波长时，估计谱除了信号源方向外在他方向出现了虚假谱峰，也就失去了估计的准确性。可见，在实际应用中，要十分注意阵元间的距离，可以适当增加阵元间距但绝不能超过半波长，最好是将阵元间距设为半波长。

MUSIC 算法 DOA 估计与快拍数的关系

模拟个独立窄带信号分别从，的方向入射到均匀线阵上，信号间互不相关，与噪声相互独立，噪声为理想高斯白噪声，阵元间距为入射信号波长的，信噪比为，阵元数为，采样快拍次数分别为，，。其仿真结果如下图所示。

由上图可以看出，在其他条件不变的情况下，随着快拍数的增加，DOA 估计谱的波束宽度变窄，阵列的指向性变好，阵列分辨空间信号的能力增强，MUSIC 算法的估计精度增加。

由此可见，可通过增加采样快拍数来增加 DOA 估计的精确度，但是采样快拍数越多，需要处理的数据就越多，MUSIC 算法的运算量就越大，速度就越慢，所以在实际应用中要合理的选取采样快拍数，在确定 DOA 估计谱准确的前提下，尽量减少运算量，加快工作速度。

MUSIC 算法 DOA 估计与信噪比的关系

模拟个独立窄带信号分别从，的方向入射到均匀线阵上，信号间互不相关，与噪声相互独立，噪声为理想高斯白噪声，阵元间距为入射信号波长的，信噪比分别为，，，阵元数为，采样快拍次数（阵列采样次数）为。其仿真结果如下图所示。

由上图可以看出，在其他条件不变的情况下，随着信噪比的增加，DOA 估计谱的波束宽度变窄，阵列的指向性变好，MUSIC 算法的分辨力增加，信噪比的高低直接影响着超分辨方位估计算法的性能。

在低信噪比时，MUSIC 算法的性能会急剧下降，因而提高算法在低信噪比条件下的估计性能是超分辨 DOA 算法的研究重点。有文章提出了一种基于多级维纳滤波器（MSWF：Multistage Weiner Filtering）的信号波达方向（DOA）估计算法。

该算法在信号可能入射方向用 MSWF 估计信号子空间，并在 MSWF 分解后互相关函数最小，信号子空间估值与噪声子空间正交时判定估计有效，进而构造空间谱来实现信号 DOA 估计。已证明在低信噪比条件下，该算法比子空间类算法有更好的分辨率和误差性能。

MUSIC 算法 DOA 估计与信号入射角度差的关系

模拟个独立窄带信号分别从相差，，的方向入射到均匀线阵上，信号间互不相关，与噪声相互独立，噪声为理想高斯白噪声，阵元间距为入射信号波长的，信噪比为，阵元数为，采样快拍次数（阵列采样次数）为。其仿真结果如下图所示。

上图说明在其他条件不变的情况下，随着信号入射角度差的增加，DOA 估计谱的波束宽度变窄，阵列的指向性变好，MUSIC 算法的分辨力增加。

当信号来波方向间隔角度很小时，不能准确估计信号源数。通常的阵列信号源数估计方法，都是在信号来波方向角度差较大情况下进行的估计，当信号来波方向的角度差比较小时，这些方法估计都要失效。

已有学者提出了平方根修正的Gerschgorin 半径估计方法，对信号来波方向角度差小时，也能很好的估计信号源数。目前提出的一些信号源数估计方法，大都存在一定的应用条件，这在一定程度上限制了DOA算法的实际运用。

信号相干时 MUSIC 算法与改进 MUSIC 算法的仿真比较

模拟两个相干窄带信号。阵列的阵元数为，快拍数为，信号入射方向分别为，，阵元间距为入射信号波长的，信噪比为。分别用 MUSIC 算法和改进 MUSIC 算法进行仿真。仿真结果如下图所示。

通过上图比较，我们可以看到，对于相干信号，经典的 MUSC 算法已经失去有效性，而改进后的 MUSIC 算法可以较好的去除信号问的相关性，把相干信号区分开来，并较准确地估计出信号的到达角。

在模型准确的前提下，MUSIC 算法对 DOA 的估计理论上可以达到任意高的分辨率。但是，MUSIC 算法研究的信号仅仅限于非相关的信号，当信号源是相关信号时，MUSIC 算法的估计性能恶化，甚至完全失效。改进的 MUSIC 算法使信号 DOA 的估计性能更加完善。

通过上述几组仿真可以看出超分辨率的MUSIC 算法具有较好的性能和较高的效率，能提供高分辨率及渐近无偏的到达角估计。而且阵元数越多，快拍数越多，信噪比越高，信号入射角度差越大MUSIC 算法的分辨率越高。

当阵元间距不大于载波半波长时，MUSIC 算法的分辨力随着阵元间距的加大相应提高，但当阵元间距大于时，空间谱除了信号源方向外在其他方向出现虚假谱峰。

在小信噪比和小的角度间隔时，MUSIC 算法的估计性能下降。当信号相干时，经典的 MUSIC 算法已经失去有效性，而改进的算法则能把相干信号区分开来，能有效区分出它们的 DOA。改进 MUSIC 算法使 MUSIC 算法对信号 DOA 的估计性能更加完善。

MUSIC 算法推广与仿真分析

经典 MUSIC 算法的计算步骤：

由阵列的接收数据得到数据协方差矩阵，即

对进行特征分解

由的特征值进行信号源数判断

确定信号子空间与噪声子空间

根据信号参数范围由下式进行谱峰搜索

找出极大值点对应的角度就是信号入射方向

MUSIC 算法的推广形式

在经典 MUSIC 算法中，对数据协方差矩阵进行特征分解可以计算得到噪声子空间特征矢量矩阵。由于噪声的存在，信号子空间中的导向矢量与并不能完全正交。因此，实际上求 DOA 是以最小优化搜索实现的，即

对上式作如下修改，就可以得到 MUSIC 算法的推广形式——加权 MUSIC（WMUSIC）算法：

很显然，式中的权时，有成立，即式（1）为普通的 MUSIC 算法。

需要指出的是，当权矩阵满足下式时：

则式（1）可化简为

式中，是指噪声子空间的第一行，是指噪声子空间除外的其余行。如对上式中的用常数进行归一化得到一矢量，则有

用替代即得最小模（MN）估计器

该式说明MUSIC 算法与最小模（MNM）算法都是加权MUSIC算法的一种特殊形式。

上面推导了 MNM 算法与 MUSIC 算法之间的关系，同样可以导出 MUSIC 算法同最小方差法（MVM）算法之间的关系。

当时，式（1）可化简为

显然该式就是 MVM 算法。由上述的知识可知，MUSIC，MNM 及 MVM 算法都可以统一在式（1）所示的WMUSIC算法之下。下面再深入地分析 MVM 算法与 MUSIC 算法之间的关系。

由前面分析可知MVM 算法表达式如下：

对上式中数据协方差矩阵进行特征值分解，并利用导向矢量与噪声子空间的正交性，可得

将上式与 MUSIC 算法表达式相比较比较，可得MUSIC 算法属于噪声子空间算法，而MVM 属于信号子空间算法。

MUSIC 算法仿真分析

MUSIC 算法与信噪比及阵元间距的关系

仿真针对阵元均匀线阵，快拍数为，个独立窄带远场信号，信号方向分别为，和。下图是阵元间距为半波长，估计谱与信噪比之间的关系。

该图说明MUSIC 算法随着信噪比的增加分辨力相应提高。

下图是估计谱与归一化阵元间距的关系，实验中固定信噪比为。

该图则说明对于均匀线阵而言，MUSIC 算法分辨力随着阵元间距的加大相应提高，但当阵元间距大于时，空间谱除了信号源方向外在其他方向出现模糊。

MUSIC 算法及对应推广算法性能比较

仿真针对阵元均匀线阵，快拍数为，个独立窄带远场信号，信号方向分别为和，阵元间距为半波长。下图是各种算法的成功概率图。

该图说明随着信噪比的增加 MUSIC 算法的估计概率大大提高，总体而言，三种算法在低信噪比情况下估计概率很低；

下图为估计偏差与信噪比之间的关系。

该图说明在低信噪比情况下，MVM算法估计偏差相对比较大，MNM算法最优。

下图为对应算法的估计方差与信噪比之间的关系。

该图说明 MNM 算法和 MUSIC 算法方差较小，算法的稳定性高。

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